Đính chính bài 10

Bài 10. Biết a là số nguyên không chia hết cho 2, tìm số dư của $$ {{a}^{3}},{{a}^{4}} $$ cho 8.

Số $$ a\vdots 2\Rightarrow a=2k,k\in \mathbb{Z} $$

$$ a\not{\vdots }2\Rightarrow a=2k+1,k\in \mathbb{Z} $$

Giả thiết, $$ a\not{\vdots }2 $$ đặt $$ a=2k+1,k\in \mathbb{Z} $$

+) $$ {{a}^{4}}={{\left( 2k+1 \right)}^{4}} $$

$$ ={{\left( 2k \right)}^{4}}+4.{{\left( 2k \right)}^{3}}+6.{{\left( 2k \right)}^{2}}+4.2k+{{1}^{4}} $$

$$ =16{{k}^{4}}+32{{k}^{3}}+24{{k}^{2}}+8k+1 $$

$$ =8.\left( 2{{k}^{4}}+4{{k}^{3}}+3{{k}^{2}}+k \right)+1 $$

Vì $$ 8.\left( 2{{k}^{4}}+4{{k}^{3}}+3{{k}^{2}}+k \right) $$ luôn chia hết cho 8 với mọi số nguyên $$ k $$

$$ \Rightarrow $$ $$ {{a}^{4}} $$ chia cho 8 dư 1.

+) $$ {{a}^{3}}={{\left( 2k+1 \right)}^{3}} $$

$$ =8{{k}^{3}}+12{{k}^{2}}+6k+1 $$

$$ =8{{k}^{3}}+8{{k}^{2}}+4{{k}^{2}}+6k+1 $$

$$ =8.\left( {{k}^{3}}+{{k}^{2}} \right)+4{{k}^{2}}+6k+1 $$

Ta có $$ 8.\left( {{k}^{3}}+{{k}^{2}} \right) $$ chia hết cho 8.

Suy ra số dư $$ {{a}^{3}}:8 $$ là số dư khi chia $$ 4{{k}^{2}}+6k+1 $$ cho $$ 8 $$

Đặt $$ C=4{{k}^{2}}+6k+1=2.\left( 2{{k}^{2}}+3k \right)+1 $$

TH1: $$ k=4n+1,\,\,n\in \mathbb{Z} $$

Thay vào $$ C $$ ta được:

$$ C=2.\left[ 2.{{\left( 4n+1 \right)}^{2}}+3.\left( 4n+1 \right) \right]+1 $$

$$ =4.{{\left( 4n+1 \right)}^{2}}+6.\left( 4n+1 \right)+1 $$

$$ =4.\left( 16{{n}^{2}}+8n+1 \right)+24n+6+1 $$

$$ =64{{n}^{2}}+56n+11 $$

$$ =8.\left( 8{{n}^{2}}+7n \right)+8+3 $$

Ta thấy $$ 8.\left( 8{{n}^{2}}+7n \right)+8 $$ chia hết cho $$ 8 $$ , với mọi $$ n $$

Suy ra số dư $$ C $$ chia cho 8 bằng $$ 3 $$ .

TH2: $$ k=4n,\,\,n\in \mathbb{Z} $$

Thay vào $$ C $$ ta được:

$$ C=2.\left[ 2.{{\left( 4n \right)}^{2}}+3.4n \right]+1 $$

$$ =2.\left( 32{{n}^{2}}+12n \right)+1 $$

$$ =8.\left( 8{{n}^{2}}+3n \right)+1 $$

Ta thấy $$ 8.\left( 8{{n}^{2}}+3n \right) $$ chia hết cho $$ 8 $$ , với mọi $$ n $$

Suy ra số dư $$ C $$ chia cho 8 bằng $$ 1 $$ .

TH3: $$ k=4n+2,\,\,n\in \mathbb{Z} $$

Thay vào $$ C $$ ta được:

$$ C=2.\left[ 2.{{\left( 4n+2 \right)}^{2}}+3.\left( 4n+2 \right) \right]+1 $$

$$ =4.{{\left( 4n+2 \right)}^{2}}+6.\left( 4n+2 \right)+1 $$

$$ =4.\left( 16{{n}^{2}}+16n+4 \right)+24n+12+1 $$

$$ =64{{n}^{2}}+88n+29 $$

$$ =8.\left( 8{{n}^{2}}+11n \right)+24+5 $$

Ta thấy $$ 8.\left( 8{{n}^{2}}+11n \right)+24 $$ chia hết cho $$ 8 $$ , với mọi $$ n $$

Suy ra số dư $$ C $$ chia cho 8 bằng $$ 5 $$ .

TH4: $$ k=4n+3,\,\,n\in \mathbb{Z} $$

Thay vào $$ C $$ ta được:

$$ C=2.\left[ 2.{{\left( 4n+3 \right)}^{2}}+3.\left( 4n+3 \right) \right]+1 $$

$$ =4.{{\left( 4n+3 \right)}^{2}}+6.\left( 4n+3 \right)+1 $$

$$ =4.(16{{n}^{2}}+24n+9)+24n+18+1 $$

$$ =64{{n}^{2}}+96n+36+24n+19 $$

$$ =64{{n}^{2}}+120n+55 $$

$$ =64{{n}^{2}}+120n+48+7 $$

$$ =8.\left( 8{{n}^{2}}+15n \right)+48+7 $$

Ta thấy $$ 8.\left( 8{{n}^{2}}+15n \right)+48 $$ chia hết cho $$ 8 $$ , với mọi $$ n $$

Suy ra số dư $$ C $$ chia cho 8 bằng $$ 7 $$ .

Vậy số dư của $$ a^3 $$ khi chia cho 8 có thể là 1, 3, 5 hoặc 7